波的基本概念

濾波是信號處理中的一個重要概念。濾波分經(jīng)典濾波和現(xiàn)代濾波。

經(jīng)典濾波的概念，是根據(jù)富立葉分析和變換提出的一個工程概念。根據(jù)高等數(shù)學(xué)理論，任何一個滿足一定條件的信號，都可以被看成是由無限個正弦波疊加而成。換句話說，就是工程信號是不同頻率的正弦波線性疊加而成的，組成信號的不同頻率的正弦波叫做信號的頻率成分或叫做諧波成分。只允許一定頻率范圍內(nèi)的信號成分正常通過，而阻止另一部分頻率成分通過的電路，叫做經(jīng)典濾波器或濾波電路。

實(shí)際上，任何一個電子系統(tǒng)都具有自己的頻帶寬度（對信號最高頻率的限制），頻率特性反映出了電子系統(tǒng)的這個基本特點(diǎn)。而濾波器，則是根據(jù)電路參數(shù)對電路頻帶寬度的影響而設(shè)計(jì)出來的工程應(yīng)用電路。

用模擬電子電路對模擬信號進(jìn)行濾波，其基本原理就是利用電路的頻率特性實(shí)現(xiàn)對信號中頻率成分的選擇。根據(jù)頻率濾波時，是把信號看成是由不同頻率正弦波疊加而成的模擬信號，通過選擇不同的頻率成分來實(shí)現(xiàn)信號濾波。

當(dāng)允許信號中較高頻率的成分通過濾波器時，這種濾波器叫做高通濾波器。

當(dāng)允許信號中較低頻率的成分通過濾波器時，這種濾波器叫做低通濾波器。

當(dāng)只允許信號中某個頻率范圍內(nèi)的成分通過濾波器時，這種濾波器叫做帶通濾波器。

理想濾波器的行為特性通常用幅度-頻率特性圖描述，也叫做濾波器電路的幅頻特性。理想濾波器的幅頻特性如圖所示。圖中，w1和w2叫做濾波器的截止頻率。 

濾波器頻率響應(yīng)特性的幅頻特性圖

對于濾波器，增益幅度不為零的頻率范圍叫做通頻帶，簡稱通帶，增益幅度為零的頻率范圍叫做阻帶。例如對于LP，從-w1當(dāng)w1之間，叫做LP的通帶，其他頻率部分叫做阻帶。通帶所表示的是能夠通過濾波器而不會產(chǎn)生衰減的信號頻率成分，阻帶所表示的是被濾波器衰減掉的信號頻率成分。通帶內(nèi)信號所獲得的增益，叫做通帶增益，阻帶中信號所得到的衰減，叫做阻帶衰減。在工程實(shí)際中，一般使用dB作為濾波器的幅度增益單位。

低通濾波器

低通濾波器的基本電路特點(diǎn)是，只允許低于截止頻率的信號通過。 （1）一階低通Butterworth濾波電路

下圖a和b是用運(yùn)算放大器設(shè)計(jì)的兩種一階Butterworth濾波電路的電路。圖a是反相輸入一階低通濾波器，實(shí)際上就是一個積分電路，其分析方法與一階積分電路相同。

基本濾波電路      演示

圖b是同相輸入的一階低通濾波器。根據(jù)給定的電路圖可以得到

對濾波器來說，更關(guān)心的是正弦穩(wěn)態(tài)是的行為特性，利用拉氏變換與富氏變換的關(guān)系，有

下圖是上式RC=2時的幅頻特性和相頻特性波特圖。

RC=2時一階Butterworth低通濾波器的頻率響應(yīng)特性 （2）二階低通Butterworth濾波電路

下 圖是用運(yùn)算放大器設(shè)計(jì)的二階低通Butterworth濾波電路。

二階Butterworth低通濾波電路     

直接采用頻域分析方法得到

其中k = 1+R1/R2 。令Q=1/（3-k），w0=1/RC，則可以寫成      

其中k相當(dāng)于同相放大器的電壓放大倍數(shù)，叫做濾波器的通帶增益，Q叫做品質(zhì)因數(shù)，w0叫做特征角頻率。

下圖是二階低通濾波器在RC=2時的波特圖，其中圖a是Q>0.707時的效果，圖b是Q=0.707時的效果，圖c是Q<0.707時的效果。

(a) Q>0.707

(b) Q=0.707

(c)Q<0.707

二階低通濾波器在RC=2時的波特圖

從圖中可以看出，當(dāng)Q>0.707 或Q<0.707時，通帶邊沿處會出現(xiàn)比較大的不平坦現(xiàn)象。因此，品質(zhì)因數(shù)表明了濾波器通帶的狀態(tài)。一般要求Q=0.707。

由此可以得到 

這就是二階Butterworth濾波器電壓增益得計(jì)算0.707公式。令Q=0.707，得

0.414R2 = 0.707R1

通常把最大增益倍所對應(yīng)的信號頻率叫做截止頻率，這時濾波器具有3dB的衰減。利用濾波器幅頻特性的概念，可以得到截止頻率w0 =w  =1/RC，即

f =1/2pRC

高通濾波器的特點(diǎn)是，只允許高于截止頻率的信號通過。下圖是二階Butterworth高通濾波器電路的理想物理模型。

直接采用頻域分析方法，并令k = 1+R1/R2 ，Q =1/（3-k），w0=1/RC，則可以得到二階Butterworth高通濾波電路的傳遞函數(shù)為  

二階Butterworth高通濾波電路  演示 

高通濾波器

考慮正弦穩(wěn)態(tài)條件下，s=jw，得

二階BButterworth高通濾波器在頻率響應(yīng)特性與低通濾波器相似，當(dāng)Q>0.707或Q<0.707時，通帶邊沿處會出現(xiàn)不平坦現(xiàn)象。有關(guān)根據(jù)品質(zhì)因數(shù)Q計(jì)算電路電阻參數(shù)R1 和R2的方法與二階低通濾波器的計(jì)算相同。

同樣，利用濾波器幅頻特性的概念，可以得到截止頻率w0 =w  =1/RC，即  f =1/2pRC

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